Номер 312 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Угол боковой грани с основанием измеряется в треугольнике $SOM$ (катет $OM$ — радиус вписанной окружности основания), угол бокового ребра — в треугольнике $SOA$ (катет $OA$ — радиус описанной). Оба треугольника имеют общий катет $SO$, поэтому тангенсы связаны отношением $OM:OA$.

1. 1Апофема $SM\perp AB$ (высота равнобедренного треугольника $SAB$), радиус $OM\perp AB$ (касательная в точке касания вписанной окружности). Угол между этими перпендикулярами — линейный угол двугранного угла при ребре $AB$ (п. 23), он равен $\phi$.
2. 2Центральный угол правильного $n$-угольника, опирающийся на сторону, равен $\frac{360^{\circ }}{n}$. В равнобедренном $△AOB$ медиана $OM$ является биссектрисой.
3. 3В $△SOM$ катет $SO$ противолежит углу $\phi$, катет $OM$ прилежит. В $△AOM$ ($\angle M=90^{\circ }$) гипотенуза $OA$, прилежащий угол $\angle AOM$.
4. 4Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому проекция наклонной $SA$ на основание — отрезок $OA$, а угол между ребром $SA$ и основанием — $\angle SAO$.
5. 5Тангенс угла в прямоугольном $△SOA$ — отношение катета $SO$ к катету $OA$. $OM$ сокращается.

Частая ошибка. Угол бокового ребра с основанием не равен половине или части $\phi$: считаем в другом треугольнике, $SOA$, а не $SOM$. На рисунке $n=6$, формула верна для любого $n⩾3$.