Номер 314 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— правильная усечённая пирамида;

O O_{1} = 63

см;

M M_{1} = 65

см;

a_{1} : a_{2} = 7 : 3

Найти:

a_{1}

a_{2}

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида ABCDA1B1C1D1, апофема MM1 = 65, высота OO1 = 63

O

O_{1}

— центры оснований;

M

M_{1}

— середины

A B

A_{1} B_{1}

M M_{1} = 65

O O_{1} = 63

M_{1} K ⊥ OM

⇒

M_{1} K = O O_{1} = 63

;

△ M K M_{1}

прямоугольный.2

M K = 6 5^{2} - 6 3^{2} = 4225 - 3969 = 16

OM = \frac{a _{1}}{2}, O_{1} M_{1} = \frac{a _{2}}{2} \Rightarrow M K = \frac{a _{1} - a _{2}}{2} = 16, a_{1} - a_{2} = 32

a_{1} : a_{2} = 7 : 3

a_{1} = 7 k

a_{2} = 3 k

4 k = 32, k = 8 \Rightarrow a_{1} = 56, a_{2} = 24

Ответ:

56

см и

24

см.

Пояснение

Идея. В прямоугольном треугольнике, составленном из апофемы, высоты пирамиды и разности радиусов вписанных окружностей, известны гипотенуза и катет. Разность радиусов даёт разность сторон, а отношение $7 : 3$ — сами стороны.

1Апофема $M M_{1}$ лежит в плоскости $OM M_{1} O_{1}$ , перпендикулярной $A B$ . В этой плоскости $OM$ и $O_{1} M_{1}$ перпендикулярны $A B$ , значит, параллельны друг другу, а $O O_{1} ⊥ (A BC)$ .
2Опускаем $M_{1} K ⊥ OM$ . Получается прямоугольник $O O_{1} M_{1} K$ , поэтому $M_{1} K = O O_{1}$ . В прямоугольном $△ M K M_{1}$ гипотенуза — апофема, катет — высота; второй катет находим по теореме Пифагора. Числа $65$ и $63$ дают $6 5^{2} - 6 3^{2} = 2 \cdot 128$ .
3У квадрата расстояние от центра до стороны — половина стороны: $OM = \frac{a _{1}}{2}$ , $O_{1} M_{1} = \frac{a _{2}}{2}$ . Отрезок $M K = OM - O_{1} M_{1}$ .
4Введём коэффициент $k$ : $a_{1} - a_{2} = 7 k - 3 k = 4 k$ .

Номер 314 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели