Номер 315 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

E A BC D F

— правильный октаэдр с ребром

a

;

P_{i}

Q_{i}

— центры граней

Доказать:

P_{1} \dots P_{4} Q_{1} \dots Q_{4}

— куб

Правильный октаэдр EABCDF и центры его граней P1…P4 (верхние), Q1…Q4 (нижние)

E A BC D F

— октаэдр, ребро

a

;

A BC D

— квадрат,

O

— его центр,

EF ⊥ (A BC)

EO = FO = a^{2} - (\frac{a 2}{2})^{2} = \frac{a 2}{2}

P_{1}, \dots, P_{4}

— центры граней

E A B, EBC, EC D, E D A

;

K_{i}

— середины сторон

A B, \dots, D A

E P_{i} = \frac{2}{3} E K_{i}

. Точка

O_{1} \in EO

E O_{1} = \frac{2}{3} EO

⇒

P_{i} O_{1} ∥ K_{i} O

O_{1} P_{i} = \frac{2}{3} O K_{i} = \frac{a}{3}

O_{1} P_{1} P_{3}

O_{1} P_{2} P_{4}

— прямые,

P_{1} P_{3} ∥ K_{1} K_{3}

P_{2} P_{4} ∥ K_{2} K_{4}

K_{1} K_{3} ⊥ K_{2} K_{4}

P_{1} P_{3} = P_{2} P_{4} = \frac{2 a}{3}, ⊥ \Rightarrow P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} — квадрат, P_{1} P_{2} = \frac{a 2}{3}

Так же

Q_{1} Q_{2} Q_{3} Q_{4}

— квадрат со стороной

\frac{a 2}{3}

, центр

O_{2} \in FO

F O_{2} = \frac{2}{3} FO

O_{1} P_{i} ∥ O_{2} Q_{i} ∥ O K_{i}

, равны ⇒

P_{i} Q_{i} ∥ O_{1} O_{2} ∥ EF

P_{i} Q_{i} = O_{1} O_{2}

O_{1} O_{2} = EF - E O_{1} - F O_{2} = a 2 - 2 \cdot \frac{a 2}{3} = \frac{a 2}{3}

P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}

Q_{1} Q_{2} Q_{3} Q_{4}

— равные квадраты в параллельных плоскостях,6

P_{i} Q_{i} ⊥

их плоскостям,

P_{i} Q_{i} = \frac{a 2}{3}

— стороне квадрата ⇒ куб.6

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Восемь центров граней делятся на две четвёрки — верхнюю (грани при вершине $E$ ) и нижнюю (при $F$ ). Каждая четвёрка — квадрат со стороной $\frac{a 2}{3}$ , квадраты лежат в параллельных плоскостях друг под другом на расстоянии, равном той же стороне. Прямая призма с квадратным основанием и высотой, равной стороне, — куб.

1Вершина $E$ равноудалена от $A, B, C, D$ , поэтому проектируется в центр квадрата $O$ , и $EO ⊥ (A BC)$ . Из $△ EO A$ с гипотенузой $E A = a$ и катетом $A O = \frac{a 2}{2}$ находим $EO$ .
2Центр треугольника лежит на медиане и делит её в отношении $2 : 1$ , считая от вершины. Поэтому $P_{i}$ лежит на медиане $E K_{i}$ грани.
3В $△ EO K_{i}$ точки $P_{i}$ и $O_{1}$ лежат на сторонах $E K_{i}$ и $EO$ и делят их в одном отношении $2 : 1$ , поэтому $P_{i} O_{1} ∥ K_{i} O$ и $P_{i} O_{1} = \frac{2}{3} K_{i} O$ . Отрезки $O K_{i}$ — расстояния от центра квадрата до сторон, $O K_{i} = \frac{a}{2}$ . Все $P_{i}$ лежат в плоскости, проходящей через $O_{1}$ параллельно основанию. $K_{1} K_{3}$ и $K_{2} K_{4}$ перпендикулярны (середины противоположных сторон квадрата), значит, диагонали четырёхугольника $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ равны, перпендикулярны и пересекаются в $O_{1}$ — это квадрат; его сторона равна диагонали, делённой на $2$ .
4Нижние грани получаются заменой $E$ на $F$ : вся конструкция симметрична относительно плоскости $A BC$ . Точки $Q_{i}$ отстоят от $O_{2}$ на те же расстояния $\frac{a}{3}$ в тех же направлениях.
5 $O_{1} P_{i}$ и $O_{2} Q_{i}$ параллельны $O K_{i}$ , равны и направлены одинаково, поэтому $O_{1} P_{i} Q_{i} O_{2}$ — параллелограмм: $P_{i} Q_{i} ∥ O_{1} O_{2}$ и равны. $E O_{1} = F O_{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a 2}{2}$ .
6Многогранник с гранями-квадратами $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ и $Q_{1} Q_{2} Q_{3} Q_{4}$ и боковыми рёбрами $P_{i} Q_{i}$ , перпендикулярными основаниям и равными стороне основания, — куб.

Номер 315 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели