Номер 316 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Достаточно показать, что все шесть расстояний между центрами граней равны. Два центра лежат на медианах двух граней, выходящих из середины общего ребра, поэтому получается пара подобных треугольников с коэффициентом $\frac{1}{3}$.

1. 1Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан. У каждой грани свой центр, отмечаем его по противолежащей вершине.
2. 2Любые две грани тетраэдра имеют общее ребро; берём ребро $DC$ и грани $DBC$, $DAC$. Медиана $BK$ грани $DBC$ и медиана $AK$ грани $DAC$ выходят из одной точки $K$. Центр треугольника делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть он отстоит от основания медианы $K$ на $\frac{1}{3}$ её длины.
3. 3В треугольниках $K{O}_A{O}_B$ и $KBA$ угол $K$ общий ($O_A$ на луче $KB$, $O_B$ на луче $KA$), а стороны при нём пропорциональны с коэффициентом $\frac{1}{3}$. Значит, $\frac{O_A{O}_B}{BA}=\frac{1}{3}$.
4. 4Для остальных пар граней рассуждение то же: общее ребро, его середина, две медианы. Рёбра правильного тетраэдра все равны $a$, поэтому и все шесть новых расстояний равны $\frac{a}{3}$.
5. 5В плоскости не бывает четырёх точек, попарно равноудалённых: четвёртая точка, равноудалённая от вершин равностороннего треугольника, — его центр, но он ближе к ним, чем стороны. Поэтому четыре точки образуют тетраэдр, и его шесть рёбер равны, а значит, четыре грани — равносторонние треугольники.