Номер 317 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

куб с ребром

a

;

T

U

L_{1}, \dots, L_{4}

— центры его граней

Доказать:

T U L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}

— правильный октаэдр

Куб и центры его граней: T, U — верхней и нижней, L1…L4 — боковых; O — центр куба

Куб с ребром

a

;

O

— его центр.

T

U

— центры верхней и нижней граней,

L_{1}, \dots, L_{4}

— боковых.1

L_{i}

лежит над серединой

K_{i}

стороны нижнего основания на высоте

\frac{a}{2}

⇒2

L_{i} K_{i} ∥ L_{i + 1} K_{i + 1}

, равны ⇒

L_{i} L_{i + 1} = K_{i} K_{i + 1} = \frac{a 2}{2}

L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}

лежит в плоскости, параллельной основанию (через

O

), и повторяет квадрат

K_{1} K_{2} K_{3} K_{4}

L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}

— квадрат со стороной

\frac{a 2}{2}

, центр

O

;

T U ⊥

его плоскости,

TO = U O = \frac{a}{2}

O L_{i} = \frac{a}{2} \Rightarrow T L_{i} = T O^{2} + O L_{i}^{2} = \frac{a 2}{2}

То же для

U

U L_{i} = \frac{a 2}{2}

T L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}

U L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}

— правильные пирамиды с общим основанием,5

все рёбра равны

\frac{a 2}{2}

⇒ грани — равносторонние ⇒ вместе они дают правильный октаэдр.5

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Шесть центров граней: четыре боковых образуют квадрат в плоскости, проходящей через центр куба, а центры верхней и нижней граней лежат на перпендикуляре к ней через центр этого квадрата. Остаётся проверить, что все двенадцать расстояний между соседними точками одинаковы.

1Центр куба $O$ — середина отрезка $T U$ и середина любого отрезка между центрами противоположных граней. Расстояние от $O$ до каждой грани равно половине ребра.
2Центр боковой грани — середина её диагонали, поэтому он находится над серединой стороны основания (на высоте $\frac{a}{2}$ ). Отрезки $L_{i} K_{i}$ и $L_{i + 1} K_{i + 1}$ перпендикулярны основанию, равны и параллельны, поэтому $K_{i} K_{i + 1} L_{i + 1} L_{i}$ — параллелограмм. Сторона $K_{i} K_{i + 1}$ — средняя линия треугольника, отсекающего угол квадрата: она равна половине диагонали основания.
3Все $L_{i}$ на высоте $\frac{a}{2}$ , поэтому лежат в плоскости, параллельной основанию, через $O$ . Это квадрат, равный $K_{1} K_{2} K_{3} K_{4}$ , с центром на оси $T U$ , потому что $O$ — общая точка. Ось $T U$ перпендикулярна основаниям куба, а значит, и плоскости этого квадрата.
4 $O L_{i}$ — отрезок из центра куба в центр грани, он равен $\frac{a}{2}$ . $TO ⊥ O L_{i}$ , так как $T U ⊥$ плоскости квадрата. Треугольник $TO L_{i}$ прямоугольный и равнобедренный.
5Пирамида с квадратным основанием и боковыми рёбрами, равными стороне основания, имеет равносторонние боковые грани. Две такие пирамиды $T L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}$ и $U L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}$ , склеенные по общему основанию, образуют октаэдр с восемью равносторонними гранями — правильный.

Номер 317 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели