Номер 318 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Находим косинусы обоих двугранных углов теоремой косинусов: они равны $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$. Косинусы противоположны, а угол однозначно определяется косинусом на промежутке $(0^{\circ };180^{\circ })$, поэтому углы дополняют друг друга до $180^{\circ }$.

1. 1Высоты $DK$ и $CK$ равносторонних граней $DAB$ и $ABC$ перпендикулярны общему ребру $AB$ в одной точке $K$. Угол между ними — линейный угол двугранного угла (п. 23).
2. 2Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. В $△DKC$ известны три стороны: $DK=CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DC=a$ — применяем теорему косинусов.
3. 3Октаэдр состоит из двух пирамид с квадратным основанием и равными рёбрами. Две соседние грани октаэдра при ребре $SA$ — это $SAB$ и $SAD$, они лежат в верхней пирамиде. Высоты $BH$ и $DH$ равносторонних треугольников $SAB$ и $SAD$ падают в середину $H$ ребра $SA$. Этот угол был найден в зад. 304.
4. 4В $△BHD$ стороны $BH=DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ и диагональ квадрата $BD=a\sqrt{2}$. Теорема косинусов даёт $\cos \beta =-\frac{1}{3}$.
5. 5Формула приведения $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$. На промежутке от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ косинус принимает каждое значение один раз, значит, из равенства косинусов следует равенство углов.