Номер 319 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость симметрии, проходящая через вершину $D$, оставляет её на месте и переставляет остальные три вершины. Перебираем возможные перестановки и для каждой проверяем, действительно ли получается плоскость симметрии.

1. 1При симметрии относительно плоскости точки самой плоскости остаются на месте, а многогранник переходит в себя. Рёбра переходят в рёбра, поэтому вершины переходят в вершины. Раз $D\in \pi$, вершина $D$ остаётся на месте, остальные три вершины переставляются.
2. 2Двукратное применение симметрии возвращает каждую точку на место. Поэтому перестановка $A,B,C$ может быть только такой: все остаются, или две меняются местами, а третья остаётся.
3. 3Если $A$, $B$, $C$ остаются на месте, они лежат в $\pi$. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, а в $(ABC)$ вершины $D$ нет.
4. 4Если $A$ и $B$ меняются местами, то по определению симметрии $\pi$ перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину $K$. Вершины $C$ и $D$ остаются на месте, поэтому лежат в $\pi$, а эта плоскость определяется точками $D$, $C$, $K$.
5. 5Проверяем, что такая плоскость годится. $DA=DB$ и $CA=CB$, значит, $D$ и $C$ равноудалены от $A$ и $B$ и лежат в плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через её середину. Симметрия относительно этой плоскости меняет $A$ и $B$, а $C$ и $D$ оставляет, то есть вершины переходят в вершины.
6. 6Выбор пары, меняющейся местами, — это выбор одной из трёх сторон треугольника $ABC$. Разные пары дают разные плоскости: $DCK$, $DAL$ ($L$ — середина $BC$) и $DBN$ ($N$ — середина $AC$).