Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости. а) Выясните взаимное расположение прямых CD и EK. б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность и AB=22,5 см, EK=27,5 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — параллелограмм, ABEK — трапеция, EK∥AB; в ABEK вписана окружность; AB=22,5 см, EK=27,5 см
Найти:а) CD и EK; б) PABEK
а)
CD∥AB (параллелограмм),
EK∥AB (основания трапеции).
1 CD∥AB,
EK∥AB ⇒
CD∥EK (п. 4).
2 б)
В
ABEK вписана окружность ⇒
AB+EK=BE+AK.
3AB+EK=22,5+27,5=50 см,
BE+AK=50 см.
3 P=50+50=100 см
Ответ: а) параллельны; б) 100 см.
Пояснение
Идея. В части а) работает теорема о двух прямых, параллельных третьей (п. 4): CD и EK обе параллельны AB. В части б) используем свойство четырёхугольника, в который вписана окружность.
- 1Параллелограмм ABCD лежит в одной плоскости, и CD∥AB как противоположные стороны. У трапеции ABEK основание EK параллельно противоположной стороне AB, которая является вторым основанием.
- 2Плоскости фигур разные, но теорема п. 4 относится к прямым в пространстве: две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Поэтому CD∥EK, хотя лежат они в разных плоскостях.
- 3Если в четырёхугольник можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны. Противоположные стороны трапеции: основания AB, EK и боковые BE, KA. Поэтому сумма боковых тоже равна 50 см, а периметр — сумма двух одинаковых сумм.
Проверка. Периметр равен удвоенной сумме оснований: 2⋅50=100 см.
