Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№43. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — пространственный четырёхугольник; M, N, P, Q — середины AB, BC, CD, DA
Доказать:MNPQ — параллелограмм
MN — средняя линия
△ABC ⇒
MN∥AC,
MN=21AC.
1 QP — средняя линия
△ADC ⇒
QP∥AC,
QP=21AC.
1 MN∥QP (п. 4),
MN=QP ⇒
M,N,P,Q лежат в одной плоскости.
2 MN∥QP и
MN=QP ⇒
MNPQ — параллелограмм.
3 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Диагональ AC разбивает пространственный четырёхугольник на два треугольника ABC и ADC. Каждый из них даёт среднюю линию, параллельную AC и равную её половине.
- 1Треугольники ABC и ADC плоские, поэтому средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. У обоих третья сторона — диагональ AC.
- 2Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (п. 4). Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, поэтому все четыре точки M, N, P, Q — в одной плоскости.
- 3В этой плоскости две противоположные стороны MN и QP параллельны и равны. Это признак параллелограмма.
Частая ошибка. Считать, что ABCD лежит в одной плоскости: здесь это не так, и параллелограмм получается как раз за счёт общей диагонали AC.
