Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№44. Прямые OB и CD параллельные, а OA и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми OA и CD, если: а) ∠AOB=40°; б) ∠AOB=135°; в) ∠AOB=90°.
✎ Запись в тетрадь
Дано:OB∥CD; OA и CD скрещиваются; а) ∠AOB=40°, б) 135°, в) 90°
Найти:угол между OA и CD
OB∥CD ⇒ угол между
OA и
CD равен углу между
OA и
OB (п. 9).
1 а)
∠AOB=40° — острый ⇒ угол между прямыми
40°.
2 б)
∠AOB=135° — тупой ⇒ угол между прямыми
180°−135°=45°.
2 в)
∠AOB=90° ⇒
OA⊥CD, угол
90°.
3 Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 90°.
Пояснение
Идея. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным (п. 9). Здесь вместо CD берём параллельную ей OB: она уже пересекает OA в точке O.
- 1Угол между OA и CD не зависит от выбора вспомогательных прямых. Подходит OB: она параллельна CD и проходит через O, так что строить ничего не нужно.
- 2Угол между прямыми не бывает больше 90°. Острый угол ∠AOB и есть искомый, а у тупого берём смежный: 180°−∠AOB.
- 3Если ∠AOB=90°, то OA и CD взаимно перпендикулярны, хотя и не пересекаются.
Частая ошибка. Назвать углом между прямыми 135°: угол между прямыми всегда от 0° до 90°.
