Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№45. Прямая a параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что a и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — параллелограмм; a∥BC; a⊂(ABCD); а) один угол 50°, б) 121°
Доказать:a, CD скрещиваются; угол между ними
a∥BC,
BC⊂(ABCD),
a⊂(ABCD) ⇒
a∥(ABCD) (п. 6).
1 ⇒
a не имеет общих точек с плоскостью, значит, и с
CD.
1Если
a∥CD, то
BC∥CD (п. 4), а они пересекаются в
C.
2⇒
a и
CD не пересекаются и не параллельны ⇒ скрещивающиеся.
2Угол между
a и
CD равен углу между
BC и
CD (п. 9).
3а)
Углы параллелограмма
50° и
130° ⇒ угол между прямыми
50°.
4б)
Углы
121° и
180°−121°=59° ⇒ угол между прямыми
59°.
4Ответ: а) 50°; б) 59°.
Пояснение
Идея. Скрещивающиеся прямые — это не пересекающиеся и не параллельные. Прямая a параллельна плоскости параллелограмма (п. 6), поэтому с CD не пересекается. Угол находим, заменяя a на параллельную ей BC.
- 1Признак параллельности прямой и плоскости (п. 6): прямая вне плоскости, параллельная прямой этой плоскости, параллельна плоскости. Если у a нет общих точек с плоскостью, их нет и с CD, лежащей в плоскости.
- 2Остаётся исключить параллельность. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (п. 4). Значит, a∥CD повлекло бы BC∥CD, а эти прямые пересекаются в C.
- 3BC параллельна a и пересекает CD. Поэтому угол между a и CD — это угол между пересекающимися BC и CD.
- 4Углы параллелограмма при одной стороне в сумме дают 180°. Угол между прямыми не больше 90°, поэтому берём острый из двух.
Частая ошибка. Назвать ответом тупой угол 121°: между прямыми берётся меньший из двух смежных углов.
