Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 20, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) m и AC — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними; б) m и AD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — ромб; m∥BD; m⊂(ABCD); ∠ABC=128°
Доказать:m скрещивается с AC, AD; найти углы
m∥BD,
m⊂(ABCD) ⇒
m∥(ABCD) (п. 6) ⇒
m не пересекает
AC,
AD.
1 m∥AC ⇒
BD∥AC (п. 4), а они пересекаются. Так же
m∦AD.
2 ⇒
m скрещивается с
AC и с
AD.
2а)
Угол
(m,AC) = угол
(BD,AC) =
90° (диагонали ромба).
3б)
BD — биссектриса:
∠ABD=128°:2=64°.
4 Угол
(m,AD) = угол
(BD,AD) =
∠ADB=64°.
5Ответ: а) 90°; б) 64°.
Пояснение
Идея. Как в №45: прямая m параллельна плоскости ромба, поэтому не пересекается с его сторонами и диагоналями; параллельной им она быть не может. Угол между скрещивающимися прямыми находим, заменив m на BD.
- 1Признак (п. 6): m∥BD и m вне плоскости ромба ⇒ m параллельна плоскости ромба, а прямые AC, AD лежат в этой плоскости.
- 2Если бы m∥AC, то по п. 4 было бы BD∥AC, но диагонали ромба пересекаются. С AD так же: BD и AD пересекаются в D.
- 3Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а m параллельна BD.
- 4Диагональ ромба делит его угол пополам. Стороны ромба равны, поэтому треугольник ABD равнобедренный и углы при основании BD равны.
- 5BD пересекает AD в точке D, и угол между ними острый, так что он и есть угол между m и AD.
