Номер 47 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Нужная прямая $MN$ соединяет середины $BC$ и $AD$. Добавляем середину $P$ диагонали $AC$: отрезки $PM$ и $PN$ — средние линии двух плоских треугольников, они параллельны $AB$ и $CD$, и вместе с $MN$ дают равнобедренный треугольник.

1. 1Диагональ $AC$ режет четырёхугольник на треугольники $ABC$ и $ACD$. Их средние линии через середину $P$ общей стороны $AC$ идут к $M$ и $N$.
2. 2Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. В $△ABC$ она параллельна $AB$, в $△ACD$ — $CD$.
3. 3$AB=CD$, поэтому $PM=PN$. Точки $P$, $M$, $N$ не лежат на одной прямой, иначе $AB\parallel CD$ и $ABCD$ был бы плоским.
4. 4Угол между скрещивающимися или пересекающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися (п. 9): $PM\parallel AB$, $PN\parallel CD$, обе пересекают $MN$.