Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 23, §3 Параллельность плоскостей
№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.
✎ Запись в тетрадь
Дано:m,n⊂α; m∩n=M; m∥β, n∥β
Доказать:α∥β
Допустим,
α и
β пересекаются по прямой
c.
1m⊂α,
m∥β ⇒
m∥c (утв.
10, п. 6). Так же
n∥c.
2 M∈/c: иначе
M∈β, а
m∥β не имеет с
β общих точек.
3 Через
M две прямые
m,
n параллельны
c — невозможно (п. 4).
4⇒
α и
β не пересекаются:
α∥β. ∎
4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Доказываем от противного: если бы плоскости пересекались по прямой c, обе данные прямые оказались бы параллельны c и проходили бы через одну точку — а такая прямая только одна.
- 1Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не имеют общих точек (п. 10). Предположим первое и будем искать противоречие.
- 2Утверждение 10 из п. 6: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Здесь плоскость α проходит через m и пересекает β по c; то же для n.
- 3Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если бы M лежала на c, то m имела бы с β общую точку, а она параллельна β.
- 4Через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная ей (п. 4). У нас таких две: m и n. Предположение неверно.
