Номер 54 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 23, §3 Параллельность плоскостей

№54. Точка $B$ не лежит в плоскости треугольника $A D C$ , точки $M$ , $N$ и $P$ — середины отрезков $B A$ , $BC$ и $B D$ соответственно. а) Докажите, что плоскости $MNP$ и $A D C$ параллельны. б) Найдите площадь треугольника $MNP$ , если площадь треугольника $A D C$ равна $48$ см $^{2}$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

B \in / (A D C)

;

M

N

P

— середины

B A

BC

B D

;

S_{A D C} = 48

см

^{2}

Найти:

а) доказать:

(MNP) ∥ (A D C)

; б)

S_{MNP}

Тетраэдр BADC; M, N, P — середины BA, BC, BD

а)

MN

— средняя линия

△ B A C

⇒

MN ∥ A C

NP

— средняя линия

△ BC D

⇒

NP ∥ C D

MN

NP

пересекаются,

A C

C D

пересекаются ⇒

(MNP) ∥ (A D C)

(п. 10).2

б)

MN = \frac{1}{2} A C

NP = \frac{1}{2} C D

MP = \frac{1}{2} A D

(средние линии).3

△ MNP \sim △ A C D

k = \frac{1}{2}

⇒

S_{MNP} = k^{2} S_{A C D}

S_{MNP} = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12

Ответ: б)

12

см

^{2}

Пояснение

Идея. Средние линии треугольников грани $B$ параллельны сторонам основания. Две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости, дают параллельные плоскости (п. 10). Подобие с коэффициентом $\frac{1}{2}$ даёт площадь.

1Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне. В $△ B A C$ она параллельна $A C$ , в $△ BC D$ — $C D$ .
2Теорема п. 10: пересекающиеся $MN$ , $NP$ параллельны пересекающимся $A C$ , $C D$ другой плоскости, значит, плоскости параллельны.
3Третья средняя линия $MP$ в $△ B A D$ равна половине $A D$ . Все три стороны уменьшены вдвое.
4Треугольники с пропорциональными сторонами подобны. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Номер 54 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели