Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 23, §3 Параллельность плоскостей
№55. Докажите, что если прямая a пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a пересекает α; β∥α
Доказать:a пересекает β
Пусть
β∥α,
B∈β; проведём
b∥a,
B∈b.
1a пересекает
α ⇒
b пересекает
α (лемма, п. 5).
2 b⊂β: иначе у
b не было бы общих точек с
α.
3 B∈b∩β,
b⊂β ⇒
b пересекает
β.
3 a∥b ⇒
a пересекает
β (лемма, п. 5). ∎
4 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Заменяем a на параллельную ей b, проходящую через точку плоскости β. Лемма из п. 5: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая её пересекает.
- 1Берём произвольную плоскость β, параллельную α, и в ней точку B. Через неё проходит прямая, параллельная a.
- 2По лемме п. 5 прямая b пересекает α, потому что параллельная ей a пересекает α.
- 3Если бы b лежала в β, то все её точки были бы в β, а у α и β общих точек нет. Но b с α общую точку имеет. Значит, b вне β, проходит через B и поэтому пересекает β.
- 4Лемма в обратную сторону: b пересекает β, значит, и параллельная ей a пересекает β.
