Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 23, §3 Параллельность плоскостей
№56. Плоскости α и β параллельны, A — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∥β; A∈α; l∋A, l∥β
Доказать:l⊂α
Пусть
l∋A,
l∥β. Допустим,
l⊂α.
1Тогда
l и
α имеют одну общую точку
A ⇒
l пересекает
α.
2⇒
l пересекает
β∥α (зад. 55).
3Это противоречит
l∥β ⇒
l⊂α. ∎
4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. От противного. Прямая через A, не лежащая в α, пересекает α, а значит, по зад. 55 пересекает и β. Параллельная β прямая этого делать не может.
- 1Прямая и плоскость, имеющие общую точку, либо пересекаются, либо прямая лежит в плоскости. Допускаем, что лежать она не должна.
- 2У l с α ровно одна общая точка A: две общие точки положили бы всю прямую в плоскость (аксиома A2). Это и значит «l пересекает α».
- 3Зад. 55: прямая, пересекающая плоскость, пересекает любую плоскость, ей параллельную. β∥α, поэтому l пересекает β.
- 4l∥β означает отсутствие общих точек. Получили противоречие.
