Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 23, §3 Параллельность плоскостей
№57. Прямая a параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая a либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∥β; a∥α
Доказать:a∥β или a⊂β
Пусть
α∥β,
a∥α. Допустим,
a пересекает
β.
1a пересекает
β ⇒
a пересекает
α∥β (зад. 55).
2 Это противоречит
a∥α ⇒
a не пересекает
β.
3Значит, либо
a∥β, либо
a⊂β. ∎
3Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Прямая и плоскость могут быть расположены тремя способами: пересекаются, параллельны, прямая лежит в плоскости. Пересечение с β исключаем по зад. 55.
- 1От противного: пусть a пересекает β в одной точке.
- 2Зад. 55: прямая, пересекающая плоскость, пересекает и любую параллельную ей. Тогда a пересекала бы α, а она параллельна α.
- 3Из трёх вариантов остаются два: общих точек с β нет (a∥β) либо вся прямая в β.
