Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 23, §3 Параллельность плоскостей
№58. Докажите, что если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α и β, то она пересекает и другую плоскость.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∥β; γ пересекает α
Доказать:γ пересекает β
Пусть
γ∩α=a. В
γ проведём
b, пересекающую
a.
1b имеет с
α общую точку и
b⊂α ⇒
b пересекает
α.
2 ⇒
b пересекает
β∥α (зад. 55).
3b⊂γ ⇒ у
γ и
β есть общая точка.
4 γ=β (у
γ есть точка в
α) ⇒
γ пересекает
β. ∎
4 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Вместо плоскости работаем с прямой b в γ, пересекающей линию a. Зад. 55 переносит её пересечение с α на β.
- 1Плоскость γ пересекает α по прямой a (аксиома A3). В плоскости γ через любую точку a можно провести вторую прямую b=a.
- 2b не лежит в α: иначе a и b были бы общими прямыми γ и α, а у двух плоскостей общая прямая одна. Значит, b пересекает α в точке прямой a.
- 3Зад. 55: прямая, пересекающая α, пересекает любую плоскость, параллельную α, в том числе β.
- 4Общая точка b и β принадлежит γ. Плоскости γ и β различны: у γ есть точка в α, а у β таких нет. Различные плоскости с общей точкой пересекаются.
