Номер 59 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Существование — по признаку параллельности плоскостей (п. 10): строим через $A$ пару прямых, параллельных двум пересекающимся прямым $\alpha$. Единственность — по зад. 58: любая другая плоскость через $A$ пересекает $\beta$, а значит, и $\alpha$.

1. 1Любые две пересекающиеся прямые плоскости $\alpha$ годятся, например две прямые через произвольную точку $\alpha$.
2. 2Через точку, не лежащую на прямой, проходит прямая, параллельная данной (п. 4). Точка $A$ вне $\alpha$, поэтому $a_1$ и $b_1$ различны и пересекаются в $A$.
3. 3Теорема из п. 10: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой, то плоскости параллельны.
4. 4Две различные плоскости с общей точкой пересекаются. Плоскость ${\beta }^{\prime }$ пересекает $\beta$, а $\beta \parallel \alpha$; по зад. 58 она пересекает и $\alpha$.