Номер 64 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

α ∥ β

; прямые через

O

пересекают

α

A_{1}

B_{1}

C_{1}

β

A_{2}

B_{2}

C_{2}

; не в одной плоскости

Доказать:

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A_{2} B_{2} C_{2}

Три прямые через точку O пересекают параллельные плоскости α и β в точках A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂

Плоскость

O A_{1} B_{1}

пересекает

α ∥ β

по

A_{1} B_{1}

A_{2} B_{2}

⇒

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}

(п. 11).1

△ O A_{1} B_{1} \sim △ O A_{2} B_{2}

⇒

\frac{A _{1} B _{1}}{A _{2} B _{2}} = \frac{O A _{1}}{O A _{2}} = \frac{O B _{1}}{O B _{2}}

Так же для плоскостей

O B_{1} C_{1}

O A_{1} C_{1}

\frac{B _{1} C _{1}}{B _{2} C _{2}} = \frac{O B _{1}}{O B _{2}}, \frac{A _{1} C _{1}}{A _{2} C _{2}} = \frac{O A _{1}}{O A _{2}}

\frac{A _{1} B _{1}}{A _{2} B _{2}} = \frac{B _{1} C _{1}}{B _{2} C _{2}} = \frac{A _{1} C _{1}}{A _{2} C _{2}}

Стороны пропорциональны ⇒

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A_{2} B_{2} C_{2}

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Каждая сторона верхнего треугольника лежит в плоскости, которая пересекает $α$ и $β$ . Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны (п. 11), отсюда подобные треугольники с вершиной $O$ и пропорции.

1Две данные прямые через $O$ задают плоскость $O A_{1} B_{1}$ . Она содержит и $A_{2}$ , $B_{2}$ , поэтому пересекает $α$ по $A_{1} B_{1}$ , а $β$ по $A_{2} B_{2}$ . По свойству $1^{0}$ из п. 11 эти прямые параллельны.
2У треугольников $O A_{1} B_{1}$ и $O A_{2} B_{2}$ угол при $O$ общий (или вертикальный, если $O$ лежит между плоскостями), а $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ даёт равные углы при основаниях. Они подобны, отношение сторон $A_{1} B_{1} : A_{2} B_{2}$ равно отношению $O A_{1} : O A_{2}$ и $O B_{1} : O B_{2}$ .
3Те же рассуждения для плоскостей $O B_{1} C_{1}$ и $O A_{1} C_{1}$ : каждая сторона нижнего треугольника оказывается связанной с отношением двух отрезков лучей из $O$ .
4Отношения $O A_{1} : O A_{2}$ , $O B_{1} : O B_{2}$ и $O C_{1} : O C_{2}$ равны друг другу: первая пропорция связывает первые два, вторая — второе и третье. Значит, и все три отношения сторон равны одному числу $k$ .
5Три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого — признак подобия по трём сторонам.

Номер 64 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели