Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 31, §4 Тетраэдр и параллелепипед
№66. Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скрещивающимся прямым) рёбер тетраэдра DABC. Сколько таких пар рёбер имеет тетраэдр?
✎ Запись в тетрадь
Дано:DABC — тетраэдр
Найти:все пары скрещивающихся рёбер; их число
Рёбра:
DA,
DB,
DC,
AB,
BC,
CA.
1Рёбра с общей вершиной пересекаются — не скрещиваются.
1Остались рёбра без общей вершины:
DA и
BC,
DB и
AC,
DC и
AB.
2BC⊂(ABC),
DA∩(ABC)=A,
A∈/BC ⇒
DA и
BC скрещиваются (п. 7).
3 Для двух других пар — так же.
3Ответ: 3 пары: DA и BC, DB и AC, DC и AB.
Пояснение
Идея. Два ребра тетраэдра либо имеют общую вершину, либо не имеют. Первые лежат в одной грани и пересекаются, вторые проверяем по признаку скрещивающихся прямых (п. 7).
- 1У тетраэдра шесть рёбер. Два ребра с общей вершиной принадлежат одной грани-треугольнику, значит, они пересекаются. Таких пар по три на каждую из четырёх вершин, всего 12 из 15 возможных пар.
- 2Остаются три пары рёбер без общих вершин — противоположные рёбра, на рисунке они одного цвета.
- 3Признак: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то прямые скрещиваются. Для BC плоскость — грань ABC, а ребро DA входит в неё только в точке A (D вне грани).
