Номер 67 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Рёбра основания — третьи стороны боковых граней, а у каждой грани известны две стороны и угол между ними. Это теорема косинусов для сторон и формула площади через синус угла для площадей.

1. 1Боковые грани $DAB$, $DBC$, $DCA$ — плоские треугольники с вершиной $D$. Углы при $D$ и прилежащие рёбра даны, поэтому каждую грань можно решать как обычную задачу по планиметрии.
2. 2Сторона, лежащая против угла $D$: квадрат равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Значения $\cos 54^{\circ }$ и $\cos 72^{\circ }$ берутся из таблицы или калькулятора.
3. 3Угол $ADC$ прямой, поэтому вместо теоремы косинусов проще теорема Пифагора: $\cos 90^{\circ }=0$.
4. 4Площадь треугольника — половина произведения двух сторон на синус угла между ними. В грани $DCA$ угол прямой, $\sin 90^{\circ }=1$, и площадь — половина произведения катетов.

Частая ошибка. Подставить в теорему косинусов не тот угол: у каждой грани свой угол при $D$ ($54^{\circ }$ в $DAB$, $72^{\circ }$ в $DBC$, $90^{\circ }$ в $DCA$).