Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 31, §4 Тетраэдр и параллелепипед
№68. Точки M и N являются серединами рёбер AB и AC тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — тетраэдр; AM=MB, AN=NC
Доказать:MN∥BCD
MN — средняя линия
△ABC ⇒
MN∥BC.
1 BC лежит в плоскости
BCD.
2 MN не лежит в
BCD: иначе
M и
B в
BCD ⇒
AB⊂BCD ⇒
A∈BCD — нет.
2 MN∥BC,
BC⊂BCD ⇒
MN∥BCD (п. 6).
3 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Признак параллельности прямой и плоскости (п. 6): прямая, не лежащая в плоскости, параллельна ей, если параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости. Такой прямой служит ребро BC.
- 1Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне. Здесь треугольник — грань ABC, третья сторона — BC.
- 2Для признака нужны два условия: в плоскости BCD есть прямая, параллельная MN (это BC), и сама MN в плоскости не лежит. Второе проверяем от противного: если бы M была в BCD, то прямая AB имела бы две общие точки B и M с этой плоскостью и лежала бы в ней целиком, а точка A в плоскости BCD не лежит.
- 3Оба условия выполнены, значит, MN∥BCD.
