Номер 73 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, а через точку вне прямой проходит единственная параллельная ей прямая (п. 4).

1. 1В грани $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон, поэтому параллелен третьей стороне $AC$ и вдвое короче неё.
2. 2Возьмём середину $K$ ребра $AD$. В грани $ACD$ отрезок $KP$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$, значит, $KP\parallel AC$ и $KP=5$.
3. 3Через точку $P$ вне прямой $MN$ проходит единственная прямая, параллельная $MN$ (п. 4). Это прямая $PK$, поскольку $PK\parallel AC\parallel MN$. Она лежит в плоскости $MNP$: эта плоскость содержит прямую $MN$ и точку $P$, а параллельные прямые лежат в одной плоскости. Значит, $K\in MNP$. Две противоположные стороны $MN$ и $KP$ параллельны и равны, поэтому $MNPK$ — параллелограмм. Плоскость пересекает грани по сторонам $MN$, $NP$, $PK$, $KM$, и сечение — этот параллелограмм.
4. 4В гранях $BCD$ и $ABD$ отрезки $NP$ и $MK$ — средние линии, они параллельны $BD$ и равны $\frac{12}{2}=6$. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому периметр складывается из двух пятёрок и двух шестёрок.
5. 5Периметр: $5+6+5+6=22$ (см). Значения $AC$ и $BD$ важны только как длины рёбер: форма тетраэдра на ответ не влияет.