Номер 72 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость, параллельная основанию, пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания (п. 6, $1^0$; задача 2 п. 14). Это сразу даёт способ построения.

1. 1Плоскость $\gamma$ параллельна $ABC$, поэтому параллельна каждой прямой этой плоскости, в частности $AB$ и $AC$. Грань $DAB$ содержит $AB$, значит, $\gamma$ пересекает её по прямой, параллельной $AB$.
2. 2Прямая $MP$ параллельна $AB$ и проходит через середину стороны $DA$ треугольника $DAB$ — это средняя линия, она делит $DB$ пополам. Для грани $DAC$ рассуждение то же.
3. 3Точки $M$, $P$, $Q$ лежат в $\gamma$ и на трёх рёбрах, выходящих из $D$. Их соединяем отрезками. Сторона $PQ$ — средняя линия грани $DBC$.
4. 4Когда $M$ — любая точка грани, строим те же параллельные прямые. $PQ$ проходит через $M$ параллельно $AB$ и упирается в рёбра $DA$ и $DB$ в точках $P$ и $Q$. Затем через $P$ проводим параллель $AC$ до ребра $DC$.
5. 5Прямые $PQ\parallel AB$ и $PR\parallel AC$ пересекаются, поэтому по признаку параллельности плоскостей (п. 10) плоскость $PQR\parallel ABC$. Она содержит $M$, а плоскость через точку, параллельная данной, единственна (зад. 59).