Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 31, §4 Тетраэдр и параллелепипед
№70. Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — тетраэдр; M, N, P — середины AB, AC, AD
Доказать:(MNP)∥(BCD)
MN — средняя линия
△ABC ⇒
MN∥BC.
1 MP — средняя линия
△ABD ⇒
MP∥BD.
1 MN,
MP пересекаются и лежат в
(MNP);
BC,
BD пересекаются и лежат в
(BCD).
2 Две пересекающиеся прямые плоскости
MNP параллельны двум прямым плоскости
BCD ⇒
(MNP)∥(BCD) (п. 10).
3Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Признак параллельности плоскостей (п. 10): если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
- 1Средняя линия треугольника параллельна его стороне. В грани ABC это MN∥BC, в грани ABD — MP∥BD.
- 2Для признака нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости. MN и MP имеют общую точку M, а BC и BD — общую точку B.
- 3Условия признака выполнены: MN∥BC и MP∥BD. Плоскости MNP и BCD не совпадают, потому что M∈/BCD.
