Номер 71 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, берут вспомогательную плоскость через эту прямую и находят линию её пересечения с данной плоскостью. Искомая точка лежит на этой линии (п. 14, задача 1).

1. 1Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $DB$ и $DC$, поэтому прямая $MN$ целиком лежит в грани $DBC$. В той же плоскости лежит ребро $BC$ плоскости $ABC$. Две прямые одной плоскости пересекаются, если не параллельны.
2. 2Точка $X$ принадлежит $MN$ и прямой $BC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$, значит, $X$ лежит и в $ABC$. Общая точка прямой $MN$ и плоскости $ABC$ единственна, это $X$. Точка вышла за ребро $BC$ — это нормально: пересекается плоскость, а не отрезок.
3. 3Точка $K$ лежит на $BC$, $N$ — на $DC$, поэтому $KN$ лежит в плоскости $DBC$. Плоскости $DBC$ и $ABD$ — две разные грани, они пересекаются по общему ребру $DB$.
4. 4Прямая $KN$ и ребро $DB$ лежат в одной плоскости $DBC$, и в точке $Y$ они пересекаются. Эта точка принадлежит $DB$, а значит, плоскости $ABD$. Другой общей точки у $KN$ и $ABD$ нет.

Частая ошибка. Искать точку на самом ребре: прямые $MN$ и $BC$ пересекаются за пределами отрезков, и на рисунке нужно продолжить их.