Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 31, §4 Тетраэдр и параллелепипед
№74. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — тетраэдр; O — точка пересечения медиан △BCD; O∈α, α∥(ABC)
Найти:а) доказать: сечение ∼△ABC; б) отношение площадей сечения и ABC
M — середина
BC;
O∈DM,
DO:OM=2:1 ⇒
DO:DM=2:3.
1 Плоскость
α∥(ABC) пересекает
DBC по
B1C1∥BC,
O∈B1C1.
2△DB1C1∼△DBC ⇒
DBDB1=DMDO=32.
3 A1B1∥AB (п. 11) ⇒
DADA1=DBDB1=32.
3 △DA1B1∼△DAB,
△DB1C1∼△DBC,
△DA1C1∼△DAC с
k=32.
4 A1B1=32AB,
B1C1=32BC,
A1C1=32AC ⇒
△A1B1C1∼△ABC.
4 SABCSA1B1C1=k2=945 Ответ: а) доказано; б) 94.
Пояснение
Идея. Плоскость, параллельная ABC, отсекает от тетраэдра треугольник с вершинами на рёбрах из D. Из подобия граней находится отношение, в котором плоскость делит эти рёбра, и оно же задаёт коэффициент подобия сечения и ABC.
- 1Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому DO составляет 32 медианы DM.
- 2Плоскость α параллельна ABC, значит, она пересекает грань DBC по прямой, параллельной BC (п. 11, свойство 10). Эта прямая проходит через O и пересекает DB и DC в точках B1 и C1.
- 3Прямая B1C1∥BC отсекает от △DBC подобный треугольник, и DB1:DB совпадает с DO:DM. Грань DAB рассматриваем так же: A1B1∥AB.
- 4Из подобия каждой пары граней все три стороны сечения равны 32 соответствующих сторон ABC. Три пропорциональные стороны — признак подобия.
- 5Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
