Номер 75 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

K L MN

— тетраэдр;

A

— середина

MN

;

E

O

F

— середины

L M

M A

M K

;

S_{L K A} = 24

см²

Найти:

а) сечение плоскостью

K L A

; б) доказать:

(EOF) ∥ (L K A)

;

S_{EOF}

Тетраэдр KLMN; сечение KLA и треугольник EOF, E, O, F — середины LM, MA, MK

а)

Плоскость задана точками

K

L

A

;

K L

— ребро,

A \in MN

K A

лежит в грани

K MN

L A

— в грани

L MN

Сечение —

△ K L A

б)

EO

— средняя линия

△ M L A

⇒

EO ∥ L A

EO = \frac{1}{2} L A

OF

— средняя линия

△ M A K

⇒

OF ∥ A K

OF = \frac{1}{2} A K

EF

— средняя линия

△ M L K

⇒

EF ∥ L K

EF = \frac{1}{2} L K

EO ∥ L A

OF ∥ A K

⇒

(EOF) ∥ (L K A)

(п. 10).3

Стороны

△ EOF

вдвое меньше ⇒

△ EOF \sim △ L K A

k = \frac{1}{2}

S_{EOF} = k^{2} \cdot S_{L K A} = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6 см^{2}

Ответ: а)

△ K L A

; б)

S_{EOF} = 6

см².

Пояснение

Идея. Сечение тетраэдра строится по точкам на его рёбрах: соединяем точки, лежащие в одной грани. Параллельность плоскостей доказываем по признаку (п. 10) через средние линии. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

1Секущая плоскость содержит ребро $K L$ и точку $A$ на ребре $MN$ . Точки $K$ и $A$ лежат в грани $K MN$ , $L$ и $A$ — в грани $L MN$ . Соединяем их отрезками, и получаем треугольник: четвёртая грань $K L N$ пересечена по ребру $K L$ .
2Каждая сторона $△ EOF$ — средняя линия в одной из граней: $EO$ в $M L A$ , $OF$ в $M A K$ , $EF$ в $M L K$ . Средняя линия параллельна основанию и равна его половине.
3Признак параллельности плоскостей (п. 10): две пересекающиеся прямые $EO$ и $OF$ одной плоскости параллельны двум прямым $L A$ и $A K$ другой.
4Стороны $△ EOF$ равны половинам сторон $△ L K A$ , коэффициент подобия $\frac{1}{2}$ , площади относятся как $\frac{1}{4}$ .

Номер 75 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели