Номер 78 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Нужно проверить определение параллелепипеда (п. 13): два равных параллелограмма в параллельных плоскостях и четыре параллельных отрезка, соединяющих их вершины.

1. 1$MB$ и $ND$ — остатки равных рёбер $AB$ и $CD$ после отрезания равных кусков $AM$ и $CN$. Поэтому $MB=ND$, а параллельность следует из $AB\parallel CD$. Четырёхугольник с двумя равными параллельными сторонами — параллелограмм. Для верхнего основания — то же с $A_1{B}_1$ и $C_1{D}_1$.
2. 2Равные и параллельные отрезки $AM$ и $A_1{M}_1$ образуют параллелограмм $AM{M}_1{A}_1$, поэтому $M{M}_1$ равен и параллелен $A{A}_1$. Для $N$ — аналогично с $C{C}_1$.
3. 3Все четыре боковых отрезка параллельны $A{A}_1$, значит, параллельны друг другу (п. 4), и равны $A{A}_1$.
4. 4Из равных и параллельных $M{M}_1$ и $B{B}_1$ получаем параллелограмм $M{M}_1{B}_{1}B$, откуда $MB=M_1{B}_1$. Так же сравниваем $BN$ и $B_1{N}_1$. Углы при вершинах $B$ и $B_1$ образованы сонаправленными сторонами, поэтому равны. Два параллелограмма с двумя равными сторонами и равным углом между ними равны.
5. 5Основания лежат в плоскостях $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$, они параллельны как противоположные грани данного параллелепипеда. Все условия определения выполнены.