Номер 79 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Секущая плоскость, проведённая через ребро и точку, содержит и прямую, параллельную этому ребру, проходящую через точку. Сечение строится по тем ребрам параллелепипеда, которые она пересекает; параллельность противоположных сторон следует из параллельности рёбер.

1. 1Ребро $AB$ параллельно $DC$, а $DC$ параллельно $D_1{C}_1$ (все они — рёбра параллелепипеда, п. 13). Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (п. 4). Плоскость, проходящая через $AB$ и точку $C_1$, содержит и прямую через $C_1$ параллельно $AB$, то есть $C_1{D}_1$.
2. 2Плоскость пересекает грани по отрезкам $AB$, $B{C}_1$ (грань $B{B}_1{C}_{1}C$), $C_1{D}_1$ (верхнее основание) и $D_{1}A$ (грань $A{A}_1{D}_{1}D$). Это четырёхугольник $AB{C}_1{D}_1$.
3. 3Противоположные стороны $AB$ и $D_1{C}_1$ параллельны и равны (равны как противоположные стороны граней-параллелограммов). Это признак параллелограмма.
4. 4Через $A$ проходит единственная прямая, параллельная $C{C}_1$, — ребро $A{A}_1$. Поэтому $A_1$ лежит в плоскости $AC{C}_1$, и сечение — четырёхугольник $A{A}_1{C}_{1}C$.
5. 5Противоположные стороны $A{A}_1$ и $C{C}_1$ параллельны и равны. Значит, $A{A}_1{C}_{1}C$ — параллелограмм.