Номер 81 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Точку пересечения прямой с плоскостью ищем на линии пересечения двух плоскостей: одной — данной, другой — проведённой через эту прямую вдоль подходящей грани (п. 14, задача 1).

1. 1Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах грани $B{B}_1{C}_{1}C$, поэтому вся прямая $MN$ лежит в её плоскости. Ребро $BC$ — тоже в этой плоскости и принадлежит $ABC$. Две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются.
2. 2Точка $X$ лежит на $BC$, то есть в плоскости $ABC$, и на $MN$. Это единственная общая точка прямой $MN$ и плоскости $ABC$. На рисунке её приходится строить за пределами грани — продолжаем $MN$ и $BC$.
3. 3Точки $A$ и $M$ принадлежат грани $A{A}_1{B}_{1}B$, значит, прямая $AM$ лежит в её плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость верхнего основания по ребру $A_1{B}_1$.
4. 4$AM$ и $A_1{B}_1$ лежат в одной плоскости и пересекаются в точке $Y$ (после продолжения). Эта точка лежит на $A_1{B}_1$, значит, в $A_1{B}_1{C}_1$, — это и есть искомая точка.