Номер 82 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость, параллельная данной плоскости, пересекает любую плоскость по прямой, параллельной линии пересечения данной с ней (п. 11, свойство $1^0$). Поэтому следы секущей плоскости на гранях проводят параллельно известным прямым.

1. 1Основание $ABCD$ и плоскость $\gamma$ параллельны, поэтому грань $A{A}_1{B}_{1}B$ пересекается плоскостью $\gamma$ по прямой, параллельной $AB$ (линии пересечения этой грани с основанием).
2. 2Проводим через $M$ прямую, параллельную $AB$, до рёбер $A{A}_1$ и $B{B}_1$. Остальные стороны находим так же: в каждой грани параллельно стороне основания. Сечение — параллелограмм, равный основанию.
3. 3Плоскость $\gamma$ параллельна грани $B{B}_1{C}_{1}C$, поэтому с основаниями она пересекается по прямым, параллельным $BC$ и $B_1{C}_1$, а с гранью $A{A}_1{B}_{1}B$ — по прямой, параллельной $B{B}_1$ (линия пересечения этой грани с $B{B}_1{C}_{1}C$).
4. 4Сначала строим отрезок $PQ$ через $M$ параллельно $B{B}_1$. Затем из точек $P$ и $Q$ проводим параллели к $BC$ и $B_1{C}_1$ до рёбер $CD$ и $C_1{D}_1$.
5. 5Плоскость $BD{D}_1$ пересекает основания по $BD$ и $B_1{D}_1$, грань $A{A}_1{B}_{1}B$ — по $B{B}_1$. Параллельная ей плоскость $\gamma$ имеет следы, параллельные этим прямым, поэтому строим $PQ\parallel B{B}_1$, затем $P{P}^{\prime }\parallel BD$ и $Q{Q}^{\prime }\parallel B_1{D}_1$.