Номер 84 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Секущая плоскость содержит $B_1{D}_1$, параллельную плоскости основания, поэтому её след на основании параллелен $B_1{D}_1$ и проходит через данную точку (п. 14, задача 3 и п. 6, $1^0$).

1. 1Диагонали оснований $BD$ и $B_1{D}_1$ параллельны (зад. 76). Прямая $B_1{D}_1$ не лежит в плоскости $ABC$ и параллельна прямой $BD$ этой плоскости, значит, параллельна плоскости $ABC$ (п. 6).
2. 2Секущая плоскость проходит через $B_1{D}_1\parallel (ABC)$, поэтому пересекает $ABC$ по прямой, параллельной $B_1{D}_1$. Эта прямая проходит через $K$ и параллельна $BD$. В треугольнике $BCD$ она соединяет середину $CD$ с точкой $L$ на $BC$, то есть является средней линией.
3. 3Плоскость пересекает грани по $D_{1}K$ (грань $DC{C}_1{D}_1$), $KL$ (основание), $L{B}_1$ (грань $BC{C}_1{B}_1$) и $B_1{D}_1$ (верхнее основание). Получается четырёхугольник.
4. 4Параллельные стороны $KL$ и $B_1{D}_1$ неравны: $KL$ — средняя линия треугольника $BCD$, а $B_1{D}_1=BD$.
5. 5У параллелограмма обе пары противоположных сторон параллельны и равны. Предположение $D_{1}K\parallel B_{1}L$ дало бы $KL=B_1{D}_1$, а это неверно. Значит, непараллельны боковые стороны, и четырёхугольник — трапеция.