Номер 85 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— параллелепипед;

K

L

— середины

A A_{1}

C C_{1}

Построить:

сечение плоскостью

B K L

; доказать: сечение — параллелограмм

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, сечение BKD₁L, K и L — середины AA₁ и CC₁

O

— точка пересечения диагоналей

A C_{1}

B D_{1}

;

A O = O C_{1}

BO = O D_{1}

(п. 13,

2^{0}

).1

A A_{1} ∥ C C_{1}

A K = C_{1} L

∠ K A O = ∠ L C_{1} O

⇒

△ A K O = △ C_{1} L O

Значит,

∠ A O K = ∠ C_{1} O L

⇒

K

O

L

на одной прямой,

K O = O L

В четырёхугольнике

B K D_{1} L

диагонали

B D_{1}

K L

пересекаются в

O

и делятся пополам.4

⇒

B K D_{1} L

— параллелограмм; его стороны лежат в гранях параллелепипеда.4

Ответ: сечение

B K D_{1} L

— параллелограмм.

Пояснение

Идея. Параллелограмм можно распознать по диагоналям: если они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то четырёхугольник — параллелограмм. Общую точку диагоналей даёт центр параллелепипеда.

1Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (п. 13, свойство $2^{0}$ ). Берём две из них: $A C_{1}$ и $B D_{1}$ .
2Грань $A A_{1} C_{1} C$ — параллелограмм: $A A_{1}$ и $C C_{1}$ параллельны и равны. Углы $K A O$ и $L C_{1} O$ — накрест лежащие при параллельных $A A_{1}$ , $C C_{1}$ и секущей $A C_{1}$ . Две стороны и угол между ними дают равенство треугольников.
3Из равенства $∠ A O K = ∠ C_{1} O L$ : углы при $O$ вертикальные, поэтому $K$ , $O$ , $L$ — одна прямая. Из равенства сторон $K O = O L$ .
4Теперь $O$ — общая середина диагоналей $B D_{1}$ и $K L$ четырёхугольника $B K D_{1} L$ . Он плоский (диагонали пересекаются), а стороны $B K$ , $K D_{1}$ , $D_{1} L$ , $L B$ лежат в гранях $A B B_{1} A_{1}$ , $A A_{1} D_{1} D$ , $D C C_{1} D_{1}$ , $BC C_{1} B_{1}$ .

Номер 85 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели