Номер 86 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Плоскость, параллельная прямой, пересекает любую плоскость, проходящую через эту прямую, по прямой, параллельной ей (п. 6). Поэтому нужную точку на ребре $D{D}_1$ ищем через прямую, параллельную $B{D}_1$ в плоскости $B{B}_1{D}_{1}D$.

1. 1У плоскости $ACM$ уже есть прямая $AC$ в основании. Нужна ещё одна, параллельная $B{D}_1$. Диагонали основания пересекаются в $O$, через $O$ в плоскости $B{B}_1{D}_{1}D$ проводим прямую, параллельную $B{D}_1$, до пересечения с $D{D}_1$ в точке $M$.
2. 2В треугольнике $BD{D}_1$ отрезок $OM$ проходит через середину $BD$ параллельно $B{D}_1$, значит, это средняя линия и $M$ — середина $D{D}_1$.
3. 3Плоскость $ACM$ содержит прямую $OM\parallel B{D}_1$, а сама $B{D}_1$ в ней не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $B{D}_1\parallel (ACM)$. Стороны $AM$ и $CM$ лежат в гранях $A{A}_1{D}_{1}D$ и $C{C}_1{D}_{1}D$.
4. 4Ребро $D{D}_1$ параллельно $B{B}_1$, а $DA$ параллельна $BC$ (противоположные стороны параллелограмма). Углы со сторонами, параллельными парами, либо равны, либо дают в сумме $180^{\circ }$. Здесь одна пара лучей сонаправлена, другая противоположна, поэтому $\angle AD{D}_1+\angle CB{B}_1=180^{\circ }$. Так же для $\angle CD{D}_1$ и $\angle AB{B}_1$.
5. 5Прямоугольные треугольники $ADM$ и $CDM$ с общим катетом $DM$ и равными катетами $AD=CD$ (стороны ромба) равны, поэтому равны гипотенузы $AM$ и $CM$.