Номер 87 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Сечение строится по следам плоскости на гранях. Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани, то следы на них параллельны (п. 11, свойство $1^0$): так по одному известному следу строим след на противоположной грани.

1. 1Две заданные точки на рёбрах одной грани сразу дают отрезок — след плоскости на этой грани. В пункте а) это $MN$ и $NK$.
2. 2У параллелепипеда противоположные грани параллельны (п. 13, $1^0$). Грань $A{A}_1{D}_{1}D$ уже пересечена по $NK$. Противоположную ей грань $B{B}_1{C}_{1}C$ плоскость пересекает по параллельной прямой, а точка $M$ этой грани у нас есть. Прямая через $M$ параллельно $NK$ встречает ребро $BC$ в точке $L$.
3. 3Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости основания, соединяем их. Четыре грани пересечены по отрезкам $NK$, $KL$, $LM$, $MN$.
4. 4В пункте б) начинаем с грани $BC{C}_1{B}_1$: точки $K$ и $M$ лежат на её рёбрах $B{B}_1$ и $C{C}_1$.
5. 5Противоположная грань — $A{A}_1{D}_{1}D$, в ней есть точка $N$. Проводим через $N$ прямую, параллельную $KM$, до пересечения с ребром $D{D}_1$ в точке $Q$.
6. 6Теперь известен след $MQ$ на грани $DC{C}_1{D}_1$. Противоположная грань — $A{A}_1{B}_{1}B$, в ней есть точка $K$. Прямая через $K$, параллельная $MQ$, встречает ребро $AB$ в точке $G$.
7. 7Остаётся основание: $G$ и $N$ лежат в нём. Шесть граней, из них пять пересечено, и получается пятиугольник.

Частая ошибка. Следы на противоположных гранях параллельны, а на соседних — нет. Параллельную прямую всегда проводим через точку, лежащую в противоположной грани.