Номер 89 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Две медианы, проведённые к общей стороне $BC$, приходят в одну точку $K$ — середину $BC$. Получается треугольник $AKD$, в котором $M_1$ и $M_2$ делят стороны $KA$ и $KD$ в одном и том же отношении.

1. 1У треугольников $ABC$ и $CBD$ общая сторона $BC$. Медианы, идущие из $A$ и из $D$ к этой стороне, заканчиваются в её середине $K$ — точке, одной и той же для обоих.
2. 2Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому $M_1$ и $M_2$ лежат на третях медиан, ближайших к $K$: $K{M}_1=\frac{1}{3}KA$, $K{M}_2=\frac{1}{3}KD$.
3. 3Если бы $A$, $K$, $D$ лежали на одной прямой, то $A$ и $D$ были бы в плоскости, содержащей $BC$ и эту прямую, и все четыре точки оказались бы в одной плоскости. Значит, $AKD$ — настоящий треугольник.
4. 4Если прямая отсекает от двух сторон треугольника пропорциональные отрезки, она параллельна третьей стороне (обратная теорема Фалеса). Здесь $M_1{M}_2\parallel AD$, причём $M_1{M}_2=\frac{1}{3}AD$.