Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 34, Доп. задачи к гл. I
№90. Вершины A и B трапеции ABCD лежат в плоскости α, а вершины C и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости α, если отрезок AB является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — трапеция; A,B∈α; C,D∈/α
Найти:расположение CD и α, если AB — а) основание; б) боковая сторона
а)
AB — основание ⇒
CD∥AB;
AB⊂α,
CD⊂α.
1 По признаку (п. 5)
CD∥α.
1б)
AB — боковая сторона ⇒
AB и
CD не параллельны, лежат в плоскости трапеции.
2 Значит,
AB∩CD=E;
E∈AB⊂α.
3CD⊂α ⇒
CD пересекает
α в точке
E.
3 Ответ: а) CD∥α; б) CD пересекает α.
Пояснение
Идея. Всё зависит от того, параллельны ли прямые AB и CD. У трапеции параллельны только основания; боковые стороны, если их продолжить, пересекаются.
- 1Когда AB — основание, CD — другое основание, и CD∥AB. Прямая AB лежит в α, а CD в α не лежит, значит, по признаку параллельности прямой и плоскости CD∥α.
- 2Когда AB — боковая сторона, CD — вторая боковая сторона. Боковые стороны трапеции не параллельны, а лежат в одной плоскости — плоскости трапеции.
- 3Две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются в точке E. Она лежит на прямой AB, а AB целиком в α, так что E∈α. Прямая CD в α не лежит, поэтому E — единственная общая точка.
