№320. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.
✎ Запись в тетрадь
Дано:
цилиндр, ось OO1, α∋OO1, r=1,5 м, h=4 м
Доказать:
сечение α — прямоугольник ABB1A1; найти AB1
α∋OO1, α∩ нижнее основание =AB, где O∈AB ⇒ AB — диаметр.1
AA1 и BB1 — образующие: AA1∥OO1, A∈α ⇒ AA1⊂α.2
Идея. Ось цилиндра перпендикулярна основаниям и параллельна всем образующим. Если плоскость содержит ось, то по ней же идут образующие, а оба основания она рассекает по диаметрам. Диагональ прямоугольника находим по теореме Пифагора.
1Плоскость α проходит через ось, а значит, через центр O нижнего основания. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр. Для верхнего основания так же: α проходит через O1, поэтому там тоже диаметр.
2Все образующие параллельны оси. Прямая, проходящая через A∈α параллельно прямой OO1⊂α, целиком лежит в α. Так в сечении появляются обе образующие.
3Две параллельные равные стороны AA1 и BB1 дают параллелограмм. Образующая перпендикулярна плоскости основания, значит, перпендикулярна любой прямой в ней, в частности AB. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
4Диагональ AB1 — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами: диаметр 2r и высота h.
