Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 92, §1
№327. Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие.
✎ Запись в тетрадь
Дано:цилиндр, ось OO1, плоскость β∥OO1, ρ(β,OO1)=d<r
Доказать:сечение — прямоугольник, две стороны — образующие
β∥OO1,
OO1⊥ основаниям ⇒
β⊥ основаниям;
β∩ нижнее основание — прямая
a.
1 Расстояние от
O до
a равно
d<r ⇒
a пересекает окружность в двух точках
A и
B.
2AA1,
BB1 — образующие:
AA1∥OO1∥β,
A∈β ⇒
AA1⊂β.
3 Так же
BB1⊂β;
A1,B1∈β ⇒
A1B1⊂β.
3AA1∥BB1,
AA1=BB1=h ⇒
AA1B1B — параллелограмм;
AA1⊥AB ⇒ прямоугольник.
4 Точки
β внутри цилиндра проектируются в хорду
AB ⇒ сечение — именно
AA1B1B.
5Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Нужно показать три вещи: плоскость пересекает основание по хорде, образующие через концы хорды лежат в плоскости, а сечение ограничено ими и двумя хордами. Дальше — признак прямоугольника.
- 1Прямая, параллельная плоскости, и перпендикулярная основаниям, делает плоскость перпендикулярной основаниям. Поэтому плоскость β не параллельна основанию и пересекает его по прямой a.
- 2Расстояние от O до a — это расстояние от оси до β, оно меньше радиуса. Прямая, удалённая от центра меньше, чем на радиус, пересекает окружность в двух точках.
- 3Прямая через точку плоскости, параллельная прямой, параллельной этой плоскости, лежит в плоскости. Так образующие через A и B оказываются в β, а вместе с ними и точки A1, B1 с верхним основанием.
- 4Две противоположные стороны — равные параллельные образующие, то есть параллелограмм. Образующая перпендикулярна основанию, значит, и хорде AB: угол прямой.
- 5Точка цилиндра проектируется на нижнее основание в точку круга, а точки β проектируются на a. Поэтому в сечение попадают только точки над отрезком AB между основаниями.
