Номер 325 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

S_{осн} : S_{ос} = 3 π : 4

Найти:

а) угол между

A B_{1}

и основанием; б) угол между

A B_{1}

B A_{1}

S_{осн} = π r^{2}

S_{ос} = A B \cdot B B_{1} = 2 r h

\frac{π r ^{2}}{2 r h} = \frac{π r}{2 h} = \frac{3 π}{4} \Rightarrow \frac{r}{h} = \frac{3}{2}

а)

B B_{1} ⊥

основанию ⇒ проекция

A B_{1}

на основание —

A B

, угол —

∠ B_{1} A B = α

tg α = \frac{B B _{1}}{A B} = \frac{h}{2 r} = \frac{1}{3} \Rightarrow α = 3 0^{\circ}

б)

K

— точка пересечения диагоналей,

K A = K B

⇒

∠ K B A = ∠ K A B = 3 0^{\circ}

∠ A K B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

; угол между диагоналями — острый:

6 0^{\circ}

Ответ: а)

3 0^{\circ}

; б)

6 0^{\circ}

Идея. Из отношения площадей находим отношение $r$ к $h$ . Оно определяет форму осевого сечения, а значит, и углы его диагоналей.

1Основание — круг, осевое сечение — прямоугольник $2 r \times h$ . Запишем площади через $r$ и $h$ .
2При делении $r$ сокращается один раз, остаётся $π r / (2 h)$ . Приравниваем к $3 π /4$ , $π$ сокращается, и получаем отношение $r / h$ .
3Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией. $B B_{1}$ перпендикулярна основанию, поэтому проекция $B_{1}$ — это $B$ , а проекция $A B_{1}$ — это $A B$ . Тангенс угла $B_{1} A B$ — отношение катетов $h$ и $2 r$ .
4Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому треугольник $A K B$ равнобедренный и два угла при основании равны $3 0^{\circ}$ . Диагонали пересекаются под двумя углами ( $12 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ ), углом между прямыми считают тот, что не больше $9 0^{\circ}$ .

Частая ошибка. В пункте б) ответ $12 0^{\circ}$ — ошибка: угол между прямыми не бывает тупым.