Номер 331 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A A_{1}

— образующая;

α ∋ O O_{1}

β ∋ A A_{1}

∠ (α, β) = φ

Найти:

S_{α} : S_{β}

Цилиндр: осевое сечение AA₁D₁D и сечение AA₁B₁B через образующую AA₁

A A_{1}

— образующая ⇒

A A_{1} ⊥

основанию ⇒

A A_{1} ⊥ A D

A A_{1} ⊥ A B

∠ D A B

— линейный угол двугранного угла между плоскостями ⇒

∠ D A B = φ

A D

— диаметр,

B

на окружности ⇒

∠ A B D = 9 0^{\circ}

A B = A D cos φ

Сечения — прямоугольники:

S_{1} = A D \cdot A A_{1}

S_{2} = A B \cdot A A_{1}

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A D}{A B} = \frac{A D}{A D cos φ} = \frac{1}{cos φ}

Ответ:

\frac{1}{cos φ}

Пояснение

Идея. Оба сечения — прямоугольники с общей стороной-образующей. Их площади относятся как вторые стороны — хорды $A D$ и $A B$ в основании. Угол между плоскостями виден в основании как угол между этими хордами.

1Образующая перпендикулярна основанию, значит, перпендикулярна обеим хордам, выходящим из её основания $A$ . Плоскости пересекаются по прямой $A A_{1}$ , а $A D$ и $A B$ лежат в разных плоскостях и перпендикулярны ребру.
2Угол между двумя плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к их общей прямой, проведёнными в каждой плоскости. Отсюда $∠ D A B = φ$ .
3Угол, опирающийся на диаметр, прямой. В прямоугольном треугольнике $A B D$ катет $A B$ прилежит углу $φ$ .
4Первое сечение осевое — оно имеет сторону $A D$ . Высота у обоих сечений одна и та же, $A A_{1}$ , и сокращается.

Частая ошибка. Ответ $cos φ$ получится, если отношение записать наоборот (второго сечения к осевому). В книге отношение осевого сечения ко второму.

Номер 331 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели