Номер 332 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 93, §1

№332. Высота цилиндра равна $h$ , а площадь осевого сечения равна $S$ . Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно $d$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

высота

h

S_{ос} = S

, сечение

∥ O O_{1}

на расстоянии

d

Найти:

S_{сеч}

Цилиндр, осевое сечение и сечение ABB₁A₁ плоскостью, параллельной оси

Осевое сечение — прямоугольник

2 r \times h

⇒

S = 2 r h

r = \frac{S}{2 h}

Сечение

A B B_{1} A_{1}

— прямоугольник:

A A_{1} = h

A B

— хорда,

O H ⊥ A B

O H = d

A B = 2 A H = 2 r^{2} - d^{2} = 2 \frac{S ^{2}}{4 h ^{2}} - d^{2} = \frac{S ^{2} - 4 h ^{2} d ^{2}}{h}

S_{сеч} = A B \cdot A A_{1} = \frac{S ^{2} - 4 h ^{2} d ^{2}}{h} \cdot h = S^{2} - 4 h^{2} d^{2}

Ответ:

S^{2} - 4 h^{2} d^{2}

Пояснение

Идея. Радиус находим из площади осевого сечения, хорду — из расстояния от центра до неё, площадь искомого сечения — как произведение хорды на высоту.

1Осевое сечение — прямоугольник из диаметра и высоты, его площадь $S = 2 r h$ .
2Сечение параллельно оси, расстояние до оси меньше радиуса, поэтому это прямоугольник с образующей и хордой.
3Половина хорды — катет $A H$ прямоугольного треугольника $O H A$ с гипотенузой $r$ и вторым катетом $d$ . Подставляем $r = S / (2 h)$ и приводим под общий корень: $S^{2} / (4 h^{2}) - d^{2} = S^{2} - 4 h^{2} d^{2} / (2 h)$ .
4Высота $h$ в хорде стоит в знаменателе, поэтому при умножении на $h$ сокращается.

Номер 332 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели