Номер 341 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 93, §1

№341. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен $φ$ , площадь основания цилиндра равна $S$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

∠ (образующая, A B_{1}) = φ

S_{осн} = S

Найти:

S_{бок}

Осевое сечение ABB₁A₁ цилиндра, диагональ AB₁ образует с образующей BB₁ угол φ

Осевое сечение — прямоугольник

A B B_{1} A_{1}

A B = 2 r

B B_{1} = h

;

∠ A B_{1} B = φ

tg φ = \frac{A B}{B B _{1}} = \frac{2 r}{h} \Rightarrow h = 2 r ctg φ

S_{осн} = π r^{2} = S

S_{бок} = 2 π r h = 2 π r \cdot 2 r ctg φ = 4 π r^{2} ctg φ = 4 S ctg φ

Ответ:

4 S ctg φ

Пояснение

Идея. Угол $φ$ связывает диаметр основания и высоту. Через него выражаем $h$ через $r$ , а $π r^{2}$ заменяем на данную площадь $S$ .

1Образующая $B B_{1}$ перпендикулярна основанию, значит, $B B_{1} ⊥ A B$ . Треугольник $A B B_{1}$ прямоугольный с прямым углом $B$ , а угол при $B_{1}$ равен $φ$ .
2Тангенс угла $B_{1}$ — отношение противолежащего катета $A B = 2 r$ к прилежащему $B B_{1} = h$ . Выражаем $h$ .
3Площадь основания — круг: $S = π r^{2}$ . Это сразу пригодится в конце, не нужно искать $r$ .
4Подставляем $h$ в $S_{бок} = 2 π r h$ . Получается $4 π r^{2} ctg φ$ , а $π r^{2} = S$ .

Номер 341 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели