Номер 342 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

развёртка — прямоугольник, диагональ

d

, угол между диагоналями

φ

Найти:

S_{бок}

S_{цил}

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник ABCD, диагонали пересекаются под углом φ

Развёртка — прямоугольник

A BC D

A B = 2 π r

BC = h

;

A C = B D = d

(п. 39).1

S_{бок} = S_{A BC D} = \frac{1}{2} A C \cdot B D \cdot sin φ = \frac{1}{2} d^{2} sin φ

Диагонали точкой

K

делятся пополам:

K A = K B = \frac{d}{2}

. Пусть

∠ A K B = φ

2 π r = A B = 2 \cdot \frac{d}{2} sin \frac{φ}{2} = d sin \frac{φ}{2} \Rightarrow r = \frac{d sin \frac{φ}{2}}{2 π}

S_{осн} = π r^{2} = \frac{d ^{2} sin ^{2} \frac{φ}{2}}{4 π}

S_{цил} = S_{бок} + 2 S_{осн} = \frac{1}{2} d^{2} sin φ + \frac{d ^{2}}{2 π} sin^{2} \frac{φ}{2}

Если

φ = ∠ B K C

, то

∠ A K B = 18 0^{\circ} - φ

sin (9 0^{\circ} - \frac{φ}{2}) = cos \frac{φ}{2}

S_{цил} = \frac{1}{2} d^{2} sin φ + \frac{d ^{2}}{2 π} cos^{2} \frac{φ}{2}

Ответ:

S_{бок} = \frac{1}{2} d^{2} sin φ

;

S_{цил} = \frac{1}{2} d^{2} sin φ + \frac{d ^{2}}{2 π} sin^{2} \frac{φ}{2}

или

\frac{1}{2} d^{2} sin φ + \frac{d ^{2}}{2 π} cos^{2} \frac{φ}{2}

Пояснение

Идея. Развёртка боковой поверхности — прямоугольник, и его площадь через диагонали и угол между ними — уже $S_{бок}$ . Для полной поверхности нужен радиус: он выражается через сторону $2 π r$ из равнобедренного треугольника $A K B$ .

1Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник: одна сторона — длина окружности основания, другая — высота. Диагонали прямоугольника равны.
2Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Для $A BC D$ это даёт $S_{бок}$ сразу.
3В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $A K B$ — равнобедренный с боковыми сторонами $d /2$ . Основание равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при вершине: $2 \cdot \frac{d}{2} sin \frac{φ}{2}$ .
4Радиус найден, считаем площадь одного основания: $π r^{2}$ .
5Полная поверхность — боковая плюс два основания, поэтому $2 S_{осн} = \frac{d ^{2}}{2 π} sin^{2} \frac{φ}{2}$ .
6Угол между диагоналями — один из двух смежных: $φ$ может быть как углом $A K B$ , так и углом $B K C$ . Во втором случае $A K B = 18 0^{\circ} - φ$ , и синус половины заменяется косинусом. $S_{бок}$ при этом не меняется: $sin (18 0^{\circ} - φ) = sin φ$ .

Номер 342 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели