Номер 351 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 98, §2

№351. Высота конуса равна $h$ , а угол между высотой и образующей конуса равен $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

PO = h

∠ OP A = 6 0^{\circ}

P A ⊥ PB

Найти:

S_{P A B}

Конус, высота PO = h, сечение PAB с прямым углом APB при вершине

△ PO A

прямоугольный (

PO ⊥ O A

∠ OP A = 6 0^{\circ}

P A = \frac{PO}{cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{h}{1/2} = 2 h

Все образующие равны:

PB = P A = 2 h

; по условию

P A ⊥ PB

∠ A PB = 9 0^{\circ}

S_{P A B} = \frac{1}{2} P A \cdot PB = \frac{1}{2} (2 h)^{2} = 2 h^{2}

Ответ:

2 h^{2}

Пояснение

Идея. Сечение через вершину и две образующие — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ . Здесь угол при вершине прямой, поэтому достаточно найти $l$ .

1Высота перпендикулярна основанию, поэтому прямоугольный треугольник $PO A$ содержит высоту, радиус и образующую. Угол между высотой и образующей известен, а высота — прилежащий катет.
2Образующие равны, значит, у сечения $P A B$ боковые стороны одинаковы, а угол между ними по условию прямой.
3У прямоугольного треугольника площадь — половина произведения катетов, здесь катеты — образующие.

Проверка. Такое сечение существует: $A B = l 2 = 22 h$ , а диаметр основания $2 r = 2 h 3$ длиннее, потому что $2 < 3$ .

Номер 351 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели