Номер 345 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 94, §1

№345. Один цилиндр получен вращением прямоугольника $A BC D$ вокруг прямой $A B$ , а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой $BC$ . а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны. б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если $A B = a$ , $BC = b$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— прямоугольник,

A B = a

BC = b

; цилиндры от вращения вокруг

A B

и вокруг

BC

Найти:

а) доказать:

S_{1 бок} = S_{2 бок}

; б)

S_{1} : S_{2}

Вокруг

A B

: ось

A B

h_{1} = A B = a

r_{1} = BC = b

Вокруг

BC

: ось

BC

h_{2} = BC = b

r_{2} = A B = a

а)

S_{1 бок} = 2 π r_{1} h_{1} = 2 π ba, S_{2 бок} = 2 π r_{2} h_{2} = 2 π ab

2 πba = 2 πab

⇒ площади боковых поверхностей равны.2

б)

S_{1} = 2 πb (b + a), S_{2} = 2 πa (a + b)

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{2 πb ( a + b )}{2 πa ( a + b )} = \frac{b}{a}

Ответ: а) доказано (

2 πab

у обоих); б)

\frac{b}{a}

Пояснение

Идея. В каждом случае ось — одна из сторон прямоугольника, а радиус — соседняя. Оба цилиндра «меняются ролями»: у одного $h = a$ , $r = b$ , у другого — наоборот.

1Сторона на оси даёт высоту, перпендикулярная ей сторона — радиус основания. Поэтому у цилиндров $r$ и $h$ меняются местами.
2Площадь боковой поверхности — $2 π r h$ . Произведение $r h$ не меняется от перестановки множителей, поэтому обе боковые поверхности равны $2 πab$ .
3Полная поверхность — боковая плюс два основания: $2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (r + h)$ . У первого цилиндра $r = b$ , у второго — $r = a$ ; сумма $a + b$ общая.
4Общие множители $2 π$ и $(a + b)$ сокращаются, остаётся отношение радиусов: у кого радиус больше, у того полная поверхность больше.

Номер 345 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели