Номер 343 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 94, §1

№343. Из квадрата, диагональ которого равна $d$ , свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

квадрат — развёртка боковой поверхности, диагональ

d

Найти:

S_{осн}

d = a 2 \Rightarrow a = \frac{d}{2}

Развёртка боковой поверхности — прямоугольник

2 π r \times h

; здесь это квадрат, поэтому

2 π r = a

r = \frac{a}{2 π} = \frac{d}{2 π 2}

S_{осн} = π r^{2} = π \cdot \frac{d ^{2}}{8 π ^{2}} = \frac{d ^{2}}{8 π}

Ответ:

\frac{d ^{2}}{8 π}

Идея. Одна сторона квадрата становится длиной окружности основания. Находим сторону по диагонали, затем радиус и площадь круга.

1Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a 2$ (теорема Пифагора), отсюда $a$ .
2При сворачивании одна пара сторон квадрата склеивается, а другая — окружности оснований: длина окружности равна $a$ .
3Из $2 π r = a$ выражаем радиус и подставляем $a = d / 2$ .
4Возводим радиус в квадрат: $(\frac{d}{2 π 2})^{2} = \frac{d ^{2}}{8 π ^{2}}$ . Один $π$ сокращается с множителем площади круга.